Dolgozattémák a Fejezetek a matematika történetébõl 2 címû órához |
2001. tavaszi félév
Általános követelmények:
4-6 oldalas dolgozatokat várok, melyeknek a legfõbb jellemzõjeként az önálló munkát várom el. A dolgozatokat nyomtatva (vagy gépelve) kérem, tehát nem kézzel írott formában, de nem is elektronikusan (lemezen vagy e-mail-ben). Kérem, hogy a dolgozat végén legyen feltünteve, hogy milyen forrás(ok) alapján készült a dolgozat.
Ha valaki ezeken kívüli témából
szeretne dolgozatot írni, akkor konkrét ötlettel álljon
elõ, és azt egyeztesse velem. A témák összeállításánál
legfõbb szempontként azt tartottam szem elõtt, hogy
valamilyen eredeti matematikai vagy matematikatörténeti forrásszöveg
kritikai és önálló feldolgozására
legyen lehetõség. Kérem, hogy ha saját magatok
akartok témát választani, akkor ezt a szempontot vegyétek
figyelembe. Én kizárólag magyar nyelvû forrásokat
tüntetek fel, de ha valaki idegen nyelvû forrásból
akar dolgozni, akkor annak csak örülni fogok (így sokkal
több téma lehetõsége válik hozzáférhetõvé).
Nem a megadott témákból
írt dolgozatot – hacsak nincs velem
egyeztetve – nem tudok elfogadni.
A dolgozatok leadásának határideje:
2001. június 22.
16 óra
Galileo Galilei (1564-1542) egyike volt a modern tudomány megalapozóinak.
Példásan vegyítette a kísérletezés
modern módszerét a matematizálás antik ideáljával.
Nézete szerint “a természet könyve a matematika nyelvén
szól hozzánk”.
Feladat: Dolgozd fel Galilei
valamelyik gondolatmenetét matematikai szempontból a Matematikai
érvelések és bizonyítások (Európa,
1986) címû mû egy tetszõleges részlete
alapján! Próbáld meg körvonalazni, hogy az érvelés
mögött a matematikának milyen felfogása húzódik
meg! Helyezd ezt a képet egy tágabb matematikatörténeti
összefüggésbe, és hívd segítségül
arra vonatkozó ismereteidet, hogy milyen techikai-fogalmi háttér
állhatott Galilei rendelkezésére ahhoz, hogy az adott
matematikai problémákat kezelje! Próbáld jellemezni
azt a módot, ahogyan a szerzõ felhasználja a matematikát
a természet megértéséhez!
Néhány konkrét témajavaslat:
(Az alábbi témák csak támpontul kívánnak
szolgálni, vagyis a feladatok megfogalmazásához képest
több-kevesebb hûséggel kidolgozhatók, illetve
mintának használhatók egyéb témák
kifejtéséhez.)
Rényi Alfréd (1921-1970), akinek a nevét a Matematikai
Kutatóintézet is viseli, a magyar valószínûségszámítási
iskola megteremtõje, az információelmélet és
a számelmélet kitûnõ mûvelõje.
Jelentõs tevékenységet fejtett ki a matematikai ismeretterjesztés
és népszerûsítés terén. Ezt példázzák
a matematikáról írott dialógusai, melyekben
tiszta, élvezetes stílusban dolgozza fel a matematika történetének
egy-egy jelentõs epizódját, korszakát. Ezek
közé tartozik “A természet könyvének nyelve”
címû dialógusa is, amely Galileirõl és
a fiatal Torricellirõl szól.
Feladat: Dolgozd fel az
említett dialógust a következõ szempontok többsége
(némelyike) alapján:
Milyen nézetek körvonalazódnak a dialógusban?
Mi a szerzõ véleménye a vitatott kérdésrõl?
Hogyan támasztja alá a véleményét a
szerzõ a képzelt történeti beszámoló
segítségével? Történetileg vajon mennyire
hiteles a dialógus? Vannak-e olyan pontok, ahol a szerzõ
anakronizmust követ el, vagyis az adott korban ismeretlen eredményeket/fogalmakat
ismertnek tételez fel? Ha igen, akkor ezt vajon szándékosan
teszi-e (és ha igen, akkor mi a célja ezzel)? Mit gondolsz,
jól választotta-e meg a témát a szerzõ?
A választott (matematika)történeti helyszín mennyire
alkalmas arra, hogy a segítségével az adott nézeteket
igazoljuk? Mi a véleményed magáról a módszerrõl?
Minek a kifejezésére alkalmas szerinted egy képzelt
dialógus, mennyire hatékony? Neked mik a nézeteid
a tárgyalt kérdésekrõl? Ha egy ilyen dialógust
"kellene" írnod, milyen matematikatõrténeti helyszínt
választanál neki, és miért pont azt? (Figyelem:
a fenti kérdések csak tájékoztató-segítõ
jellegûek, természetesen nem kell szó szerint ragaszkodni
hozzájuk!)
Forrás: Rényi
A.: Ars mathematica. Magvetõ, 1973. 106-159. oldal. (Illetve
több kiadásban is fellelhetõ.)
Galilei: Matematikai érvelések és bizonyítások.
Európa, 1986.
René Descartes (1596-1650) az újkori filozófiai
gondolkodás egyik legmeghatározóbb alakja, a kialakulóban
levõ fizika egy sokáig befolyásos elméletének
kidolgozója, valamint a matematika “algebraizálási”
folyamatának egy fontos képviselõje (pl. koordináta-rendszer).
A matematikát módszertani mintaképként tekintette,
és a tiszta, világos, elemzõ típusú
gondolkodás metodológiai szabályainak lefektetésekor
a matematikai érvelés módszerét tartotta szem
elõtt.
Feladat: A "Szabályok
az értelem vezetésére" címû mû
segítségével próbáld meg kifejteni,
hogy milyen módon és értelemben szolgált a
matematika a tiszta gondolkodás mintájául! A szövegben
található matematikai érvelések alapján
lehet-e következtetéseket levonni Descartes matematikai “stílusára”
nézve? Milyen viszonyban állnak az ismertetett példák/problémák
a szerzõ általános matematikai érdeklõdésével?
Forrás: Id. mû.
In: Descartes: Válogatott filozófiai mûvek.
Akadémiai Kiadó, 1980. Fõként 144-163. oldal
(XIV-XXI. szabály).
Blaise Pascal (1623-1662) a valószínûségszámítás
egyik megalapozója, az infinitézimálszámítás
egyik közvetlen elõfutára, az elsõ számológép
megépítöje, kitûnõ geométer, emellett
nagy hatású fizikus, filozófus és teológus.
A 17. századi tudomány jeles képviselõi általában
módszertani-didaktikai példaképnek tekintették
a klasszikus görög geometria Eukleidész-féle kifejtését,
és ez alól Pascal sem képez kivételt – azzal
együtt (vagy annak ellenére) sem, hogy a matematika 17. századi
fejlõdésének legfontosabb fejleményei nehezen
értelmezhetõk a klasszikus felfogás keretei között.
Feladat: Elemezd Pascal
geometriával kapcsolatos nézeteit! Milyen viszonyt lát
a szerzõ geometria és tudomány, geometria és
gondolkodás, geometria és a természet között?
Egyáltalán milyen szempont(ok)ból tárgyalja
a geometriát? Milyen kapcsolat van a nézetei és a
konkrét matematikai-tudományos eredményei között?
Forrás: Pascal:
"A geometriai gondolkodásról és a meggyõõzés
mûvészetérõl". In: Írások a
szerelem szenvedélyérõl, a geometriai gondolkodásról
és a kegyelemrõl. Osiris, 1999. 35-77. oldal.
Blaise Pascal (1623-1662) a valószínûségszámítás
egyik megalapozója, az infinitézimálszámítás
egyik közvetlen elõfutára, az elsõ számológép
megépítöje, kitûnõ geométer, emellett
nagy hatású fizikus, filozófus és teológus.
Pierre Fermat-val folytatott levelezésében a két matematikus
lefektette a valószínûségszámítás
alapelveit. Hogy ez a fajta gondolkodásmód milyen nagy hatással
volt Pascalra, azt az is tanusítja, hogy Gondolatok (Gondolat
Kiadó, 1978) címû mûvének 233. paragrafusában
(95-100. oldal) egy olyan gondolati “bizonyítással” támasztja
alá Isten létezését, amely e matematikai diszciplína
bizonyos alapvetõ elveire épül.
Feladat: Rekonstruáld
Pascal Isten-bizonyítását! Hogyan mutathatók
ki az érvelésben a valószínûségszámítás
fogalmi stílusának jellemzõi? Hogyan “modernizálható”
a matematika késõbbi eszközei (technikái, fogalmai)
segítségével a bizonyítás? Vajon e rövid
szöveg elemzése alapján milyen következtetéseket
vonhatunk le arra nézve, hogy milyen jellegû problémák
és fogalmi nehézségek ösztönözték
a valószínûségszámítás
születését?
Rényi a valószínûségszámítás születésérõl
Rényi Alfréd (1921-1970), akinek a nevét a Matematikai
Kutatóintézet is viseli, a magyar valószínûségszámítási
iskola megteremtõje, az információelmélet és
a számelmélet kitûnõ mûvelõje.
Jelentõs tevékenységet fejtett ki a matematikai ismeretterjesztés
és népszerûsítés terén. Ezt példázzák
a matematikáról írott dialógusai, melyekben
tiszta, élvezetes stílusban dolgozza fel a matematika történetének
egy-egy jelentõs epizódját, korszakát. Ezekhez
hasonló stílusában és céljában
a “Levelek a valószínûségrõl” címû
írása, amelyben “közli” Blaise Pascal Pierre Fermat-hoz
írott, “elveszett” leveleit, vagyis egy olyan fiktív levélsorozatot,
amelyben Pascal tisztán kifejtette volna az új matematikai
diszciplína alapelveit.
Feladat: Dolgozd fel az
írást matematikatörténeti szempontból.
Értékeld formai és tartalmi kritériumok alapján!
Szerinted mennyire korhû az írás a használt
matematikai techikában, fogalmi hátterében és
általános nézeteiben? Mi a véleményed
a formáról, vagyis a fiktív “matematikatörténeti”
munkáról? Mik az adott forma elõnyei és hátrányai?
Vajon miért ilyen formát választott a szerzõ?
Stb.
Forrás: Rényi
A.: Ars mathematica. Magvetõ, 1973. 235-320. oldal. (Illetve
több kiadásban is fellelhetõ.)
Isaac Newton (1642/43-1727) a modern fizika és természettudomány
“atyja”, az újkori matematika egyik megalapozója, minden
idõk legkreatívabb és ugyanakkor legnagyobb hatású
tudósainak egyike. Fõmûvében, a Principia
mathematica philosophiae naturalis-ban (“A természetfilozófia
matematikai alapelvei”) nemcsak annak a fizikának az alapjait fekteti
le (Newton-törvények + gravitáció), amely mintegy
kétszáz évre meghatározta a fizika tudományának
arculatát, hanem kidolgozza azt a matematikai módszert is,
amellyel a vizsgált jelenségek köre leírható
és kezelhetõ: az infinitezimálszámítást.
Feladat: Dolgozd fel a
Principia azon részét, amelyben Newton lefekteti az infinitezimálszámítás
alapelveit! Milyen viszonyban áll az itt használt formanyelv
és fogalmi rendszer az analízis késõbbi kifejtéseivel,
illetve a matematika korábbi elméleteivel? Milyen technikai
kezelést tesz lehetõvé ez a felépítés?
Milyen “tanulságokat” tudsz levonni a szöveg elemzésébõl?
Forrás: Newton:
A
Principiából és az Optikából, Levelek
Bentleyhez. Kriterion Kiadó, 1981. 81-98. oldal.
Kant a matematikáról (vállalkozóbb szellemûeknek)
Immanuel Kant (1724-1804) az újkori filozófia egyik legmeghatározóbb
alakja. Nézetei alapul szolgáltak a 19. század számos
filozófiai elképzelésének, és eszméinek
(közvetlen vagy közvetett) hatása ma is tagadhatatlan.
A matematikával kapcsolatos felfogása jelentõs befolyást
gyakorolt arra, hogy a 19. században hogyan gondolkodtak a matematikai
elméletekrõl és objektumokról.
Feladat: Próbáld
körvonalazni azt a pozíciót, amelyet Kant a matematikának
(vagy a matematikai tudásnak) szán az ismeretek birodalmában!
Ha segít, vesd össze a matematikai ismeretek státuszáról
alkotott képét a filozófiai (metafizikai) ismeretekrõl
kialakított felfogásával! Néhány segédkérdés:
Vajon milyen általános vagy speciális következményekkel
jár ez a kanti felfogás a matematikára nézve?
Szerinted tükrözõdik-e egy ilyesfajta felfogás
a 19. század némelyik matematikai elméletében?
Hatással lehet-e a matematika filozófiája a matematika
gyakorlatára, ha igen, milyen módon, ha pedig nem, miért
nem?
Forrás: Kant: Prolegomena.
Atlantisz, 1999. “Miként lehetséges tiszta matematika?”,
illetve ennek elõzményei: (19-)39-56. oldal. És/vagy:
Kant: A tiszta ész kritikája. ICTUS, 1995. “Bevezetés”
(51-72. oldal) alapján: Hol van a matematikai ismeretek helye, és
mi ezek sajátossága? – Ebben segít a “Transzcendentális
esztétika” (77-103. oldal).
Bolyai János (1802-1860) erdélyi matematikus a nemeulkidészi
geometria egyik megalkotója. Ezen munkája egy hosszú
múltra visszatekintõ, korábban sorozatos kudarcokat
eredményezõ kutatási tradíció (egyik)
elsõ nagy sikerének tekinthetõ – a fölöslegesnek
tûnõ erõfeszítések egyik "áldozatává"
vált János apja, Bolyai Farkas (1775-1856) is. E kutatási
hagyomány története ékesen mutatja, hogy a nemeuklidészi
geometria problematikája szoros összefüggésben
áll néhány olyan fogalmi és logikai kérdéssel,
melyek a matematikai ismeretek és a matematikai tevékenység
mindenkori alapvonalaira, (kimondatlan vagy explicit) természetére
vonatkoznak. A történet mélyén a 19. századi
általános matematika-felfogás gyökeres átalakulása
figyelhetõ meg.
Feladat: Vizsgáld
meg a Bolyaiak válogatott levelezése alapján (Bolyai-levelek,
Kriterion Kiadó, 1975), hogy hogyan viszonyult apa, illetve fia
a problémához! Milyen érveket sorakoztattak fel a
nemeuklidészi geometria lehetõsége ellen, illetve
mellett? Milyen típusokba sorolhatók az érvek, és
hogyan kapcsolódnak ezek a szerzõk matematikáról
kialakított felfogásához? Ismerve a probléma
további történetét – a nemeuklidészi geometria
lassú térhódítását, valamint
hatását az adott század matematika-képének
átalakulására – milyen általános tanulságok
vonhatók le a levelek tartalmából?
Georg Cantor (1845-1918) a halmazelmélet megteremtõje.
Elmélete már a megjelenésekor nagy vitákat
robbantott ki, hiszen egy olyan fogalom – a végtelen – matematikai
kezelését kívánta lehetõvé tenni,
amely addig csak paradoxonokat szült. Ám nem telt el sok idõ,
és a halmazelmélet egyre nélkülözhetetlenebbnek
bizonyult a legtöbb matematikai diszciplína alapjai számára:
a huszadik század legfontosabb matematikai felismeréseinek
egy jelentõs csoportja a halmazelmélet vizsgálatához
kapcsolódik.
Feladat: Elemezd Cantor
azon írásait, amelyek a végtelen fogalmát próbálják
bevezetni a matematikába! (In: Filozófiai Figyelõ,
1988/4. 56-87. oldal: “A transzfinit halmazelmélet alapfogalmai”,
“Igazi és nem igazi végtelenség”, “Az aktuális
végtelen védelmében”.) Milyen matematikatörténeti
elõzményeket vizsgál meg Cantor (második írás),
és milyen alapon bírálja elõdeit? Hogyan próbálja
meg kiküszöbölni a korábbi szerzõk hibáit?
Hogyan teremti meg a végtelen tulajdonságainak vizsgálata
a halmazelmélet fogalmi hátterét? Milyen jelentõsége
van mindennek a matematika további fejlõdése és
felfogása szempontjából?
Gottlob Frege (1848-1925) a modern logika “atyja”, a szigorúan
bizonyító jellegû formális matematika fogalmi
és technikai megalapozásának egyik úttörõje.
A matematikát (pontosabban annak “magvát”, az aritmetikát)
a tiszta logika részének tekintette, és ezen felfogása
alapján megkísérelte kidolgozni azt a formális
nyelvet, amelyen a matematika alapállításai puszta
logikai eszközökkel megfogalmazhatók.
Feladat: Elemezd Frege
bármelyik írását matematikailag releváns
szempontból! Próbáld körvonalazni (vagy vedd
figyelembe) azt a felfogást, amelyet Frege a matematikával
kapcsolatban vall! Milyen szerepet játszik ebben a logika? Milyen
általános tanulságok következnek Frege felfogásából
a matematika státuszára nézve? Érinti-e mindez
a matematika konkrét gyakorlatát, mondjuk fogalmi vagy technikai
szinten?
Forrás: Frege:
Logika,
szemantika, matematika. Gondolat, 1980.
Frege: Logikai vizsgálódások. Osiris,
2000.
Frege: Az aritmetika alapjai. Áron, 1999.
Néhány konkrét témajavaslat:
(Az alábbi témák csak támpontul kívánnak
szolgálni, vagyis a feladatok megfogalmazásához képest
több-kevesebb hûséggel kidolgozhatók, illetve
mintának használhatók egyéb témák
kifejtéséhez.)
Bertrand Russell (1872-1970) a modern logika talán legfontosabb
népszerûsítõje, a matematika logicista felfogásának
híve, majd tevékeny ellenfele, jelentõs matematikus
és matematikafilozófus. A.N. Whitehead-del közösen
írt Principia mathematica címû mûve a
matematika teljeskörû megalapozására irányul,
és sokak számára sokáig a matematikai tevékenység
stilisztikai mintaképéül szolgált.
Feladat: Elemezd Russell
Filozófiai
fejlõdésem (Gondolat, 1968) címû intellektuális
önéletrajza alapján a Principia mathematica problematikáját,
a szerzõ matematikával kapcsolatos álláspontját
és céljait! (Id.mû VI-VIII. fejezet, 94-141. oldal.)
Helyezd mindezt abba a tágabb összefüggésrendszerbe,
amelyik a 20. század kezdetének matematikáját
és matematika-felfogását jellemezte! Értékeld
Russell munkásságát és nézeteit az elemzés
(általad kiválasztott) szempontjai alapján!
A "formalista" matematikai felfogás talán a legelterjedtebb
20. századi (és mai) nézet a matematikával
kapcsolatban, amely elsõsorban David Hilbert (1862-1943) és
követõi munkássága alapján alakult ki.
Feladat: Jellemezd a formalista
felfogást! Mik a fõbb jellegzetességei? Milyen viszonyban
áll egy ilyen matematikáról alkotott nézet
a matematikai ismereteinkkel: milyen értelemben "okozta" ennek az
uralkodó nézetnek a kialakulását a matematika
történeti fejlõdése? Hogyan vált a 20.
század elején a matematikai tevékenység egyben
egyfajta matematikafilozófiai tevékenységgé
is, milyen matematikai területek és ismeretek játszottak
szerepet ebben a folyamatban?
Forrás: Hao Wang:
"A formalizálásról". In: Copi - Gould (szerk.): Kortárs-tanulmányok
a logikaelmélet kérdéseirõl. Gondolat,
Budapest, 1985., 29-48. oldal.
És/vagy:
Ernest Nagel - J.R. Newman: "A Gödel-bizonyítás". In:
id. mû, 70-105. oldal.
Alfred Tarski (1902-1983) a huszadik század (elsõ felének)
legjelentõsebb matematikusai közé tartozott. Érdeklõdése
elsõsorban a metamatematika, a matematikai logika és a matematika
alapjai felé irányult. A formális rendszerek általános
tulajdoságai érdekelték, ezért különös
figyelmet szentelt a bizonyíthatóság és az
igazság formalizált fogalmának.
Feladat: Dolgozd fel Tarski
Bizonyítás
és igazság (Gondolat, 1990) címû kötetének
valamelyik írását! (Tippek: “A matematika néhány
alapvetõ fogalmáról”: 28-37. oldal, “A deduktív
tudományok metodológiájának alapvetõ
fogalmai”: 38-54. oldal, “Igazság és bizonyítás”:
365-390. oldal, stb.) Milyen matematika-felfogást tükröz
az adott írás? Vajon mit jelent a “metamatematika”,
és milyen okok vezethettek a megjelenéséhez? Próbáld
meg az írást általánosabb matematikatörténeti
összefüggésekbe helyezni, és ez alapján
értékelni!
A Bécsi Kör az 1920-30-as évek egyik legbefolyásosabb
filozófiai irányzata volt. Tagjai igen nagy szerepet szántak
a modern logikának, és így a matematikával
is közvetett kapcsolatban álltak. Nézeteik meghatározó
erõvel alakították a késõbbi évtizedek
tudományfelfogását.
Feladat: Dolgozd fel Hans
Hahn “Logika, matematika és természetismeret” címû
írása alapján a Bécsi Kör matematikával
kapcsolatos nézeteit! Értékeld az írást
egy tágabb matematikatörténeti összefüggésrendszerben!
Hogyan illeszekdik az itt kifejtett nézet a kor legfontosabb matematika-felfogásainak
térképére? Mit gondolsz errõl a felfogásról,
és hogyan értékelnéd a matematikatörténet
szempontjából: vajon könnyen alátámasztható
vagy cáfolható a matematikatörténeti ismereteid
alapján?
Forrás: Altrichter
Ferenc (szerk.): A Bécsi Kör filozófiája.
Gondolat, 1972. 217-242. oldal.
Egy hasonló témájú cikk, lehetséges
összehasonlítási szempontként: Rudolf Carnap:
"Empirizmus, szemantika és ontológia". In: Copi - Gould (szerk.):
Kortárs-tanulmányok
a logikaelmélet kérdéseirõl. Gondolat,
Budapest, 1985., 297-324. oldal.
Quine matematika-felfogása(logikai érdeklõdésûeknek)
Willard van Orman Quine (1908-2000) a 20. század egy igen jelentõs
filozófusa, akitõl számos eredmény származik
– egyebek mellett – a modern formális logika területén.
A logikával kapcsolatos vizsgálatai többek között
a matematikához is elvezettek, és hatásukra egy igen
befolyásos matematika-felfogást alakított ki, amelyben
komoly szerepet szán a logikának.
Feladat: Próbáld
meg felvázolni Quine matematika-felfogását az "Arról,
ami van" címû írása alapján! (In: Copi
- Gould (szerk.): Kortárs-tanulmányok a logikaelmélet
kérdéseirõl. Gondolat, Budapest, 1985. 273-296.
oldal.) Hogyan függ össze az ontológia (lételmélet)
alap-problematikája a matematikával? Hogyan értékeli
a szerzõ a hagyományos nagy matematikafilozófiai iskolákat,
és hogyan viszonyul hozzájuk a saját nézete?
Lehetséges összehasonlítási szempontok:
Az említett kötetben azonos fejezetcím ("Logika és
ontológia") alatt szereplõ írásokban kifejtett
nézetek, pl. Carnap (Bécsi Kör)
nézete ("Empirizmus, szemantika és ontológia", id.
mû, 297-324. oldal).
Neumann János (1903-1957) a 20. század egyik legnagyobb
matematikusa, akit sokan a matematika utolsó nagy “polihisztoraként”
tartanak számon: a mametatika szinte minden területéhez
mesterien értett. Jelentõs eredményeket ért
el – többek között – a halmazelmélet axiomatikus
megalapozásában, a számítástechnika
elméleti hátterének kidolgozásában és
a kvantummechanika matematikai vonatkozásainak tisztázásában.
Feladat: “A matematikus”
címû írásában Neumann a matematika természetérõl
és jellegzetességeirõl értekezik. Elemezd az
írást! Milyen nézeteket vallott Neumann a matematikáról?
Vedd figyelmbe a szerzõ matematikai munkássága által
kínált összefüggésrendszert! Különös
figyelmet fordíts a szövegben elõforduló matematikatörtpéneti
példákra: Szerinted megfelelõ példákat
választott a szerzõ nézeteinek alátámasztásához?
Tudnál vele vitatkozni, legfõképpen matematikatörténeti
példák segítségével?
Forrás: Neumann
J.: Válogatott elõadások és tanulmányok:
“A matematikus”. Közgazdasági és jogi könyvkiadó,
1965. 11-27. oldal.
Ludwig Wittgenstein (1889-1951) a 20. század egyik legjelentõsebb
és legnagyobb hatású filozófusa. Korai korszakában
jelentõs logikai-logikafilozófiai eredményeket is
elért, melyek erõs hatást gyakoroltak pl. a Bécsi
Kör matematikával kapcsolatos felfogására.
Késõbb élesen szembefordult saját korábbi
nézeteivel, és egy olyan felfogást alakított
ki, amely erõsen korlátozza a logika szerepét mind
a matematikában, mind az emberi tevékenységek minden
területén.
Feladat: Tanulmányozd
Wittgenstein kései fõmûvét, a Filozófiai
vizsgálódásokat (Atlantisz, 1998) abból
a szempontból, hogy miliyen felfogás körvonalazódik
benne a matematika kapcsán! (Megjegyzés: a mû "sejtelmes"
kritikai megállapítások sokaságából
áll, így bármilyen álláspont kihámozása
nem egyszerû feladat, és nagy szerepet hagy az értelmezés-beli
önállóságnak.) A téma szempotjából
elsõsorban a 143-155, illetve a 179-191, valamint az ezekkel kapcsolatos
késõbbi paragrafusokra figyelj! Milyen szerepet játszik
Wittgenstein mondandójában a "szabálykövetés"
(és ezzel összefüggésben esetleg a "nyelvjáték")
fogalma? Hogyan tanulmányozható a matematika a nyelv filozófiai
vizsgálatának általános programján belül?
Hogyan viszonyul a wittgensteini elképzelés a kor általánosan
elfogadott matematika-feldogásához, a formalista nézethez?
Lakatos Imre (1922-1974) a huszadik század egyik legjelentõsebb
magyar származású matematika- és tudományfilozófusa,
aki nézeteivel világszerte jelentõs befolyást
gyakorolt e területek fejlõdésére. Egyik legfontosabb
tézise szerint a tudomány/matematika filozófiája
elválaszthatatlan egységet kell, hogy alkosson a tudomány/matematika
történetével. A (második) doktori disszertációját
Cambridge-ben írta, “A matematikai felfedezés logikája”
címmel, és ezzel egycsapásra nemzetközi szintû
szakmai elismerésre tett szert. Ebbõl a dolgozatából
született meg késõbb a Bizonyítások
és cáfolatok (Typotex, 1998) címû könyve,
amelyet a formalista matematikafelfogás ellen indított legfontosabb
támadások között tartanak számon. Ebben
a mûvében a Descartes-Euler-féle poliéder-tétel
történetének “racionális rekonstrukcióját”
olvashatjuk (egy fiktív matematikaórán kibontakozó
vita formájában), és e történet alapján
különbözõ, a matematikusok által követett
elveket, felfogásokat, technikákat és stratégiákat
ismerhetünk meg.
Feladat: Dolgozd fel a
Bizonyítások
és cáfolatok címû tanulmányt! A feldolgozáshoz
rengeteg különbözõ szempontot választhatsz,
néhány példa: Milyen formában elemzi Lakatos
az adott matematikatörténeti folyamatot? Mit gondolsz, miért
ezt a különös formát választja? Mik ennek
az elõnyei és a hátrányai? Jónak találod
ezt a módszert egy történeti esettanulmány céljaira?
Mi más célokat követhetett e forma választásával?
És vajon miért ezt a példát választotta?
Szerinted speciálisan megfelel az elemzés tárgya a
szerzõ mondanivalójának, vagy teljesen esetleges,
hogy milyen példát választott a feldolgozásra?
Továbbá: Milyen matematikusi “stratégiák” körvonalazhatók
a vitából? (Extra feladat: Vajon azonosíthatók-e
a a vita szereplõi a történelem valódi matematikusaival
a lábjegyzetek alapján?) Hogyan ütköznek ezek a
stratégiák, és vajon van-e közöttük
egy “legjobb”? Milyen általános tanulságokat lehet
levonni a vitából, annak eredményébõl?
Mit tud megmutatni Lakatos az elemzés segítségével,
illetve mit akar(hat) megmutatni? Vajon ez egy matematikatörténeti,
-filozófiai, -pedagógiai, -szociológiai, esetleg -pszichológiai
mû? Valamint: Hogyan viszonyul az esettanulmány a Bevezetésben
lefektetett elvekhez és célokhoz? Mi lehet az általános
koncepció? Mennyire felel meg ennek az Elsõ függelék
esettanulmánya (a folytonosság Cauchy-féle elvérõl)?
És milyen viszonyban áll mindez a Második függelékben
kifejtettekkel (“A deduktivista és a heurisztikai megközelítés
ellentéte”)? – A fenti kérdések csak tippeket szeretnének
nyújtani a feldolgozáshoz, de persze egyikükhöz
sem kell ragaszkodni az elemzés során, melynek szempontja(i)
szabadon választható(k).