Dolgozattémák a Fejezetek a matematika történetébõl 2 címû órához

2001. tavaszi félév
 

Általános követelmények:
 

4-6 oldalas dolgozatokat várok, melyeknek a legfõbb jellemzõjeként az önálló munkát várom el. A dolgozatokat nyomtatva (vagy gépelve) kérem, tehát nem kézzel írott formában, de nem is elektronikusan (lemezen vagy e-mail-ben). Kérem, hogy a dolgozat végén legyen feltünteve, hogy milyen forrás(ok) alapján készült a dolgozat.

Ha valaki ezeken kívüli témából szeretne dolgozatot írni, akkor konkrét ötlettel álljon elõ, és azt egyeztesse velem. A témák összeállításánál legfõbb szempontként azt tartottam szem elõtt, hogy valamilyen eredeti matematikai vagy matematikatörténeti forrásszöveg kritikai és önálló feldolgozására legyen lehetõség. Kérem, hogy ha saját magatok akartok témát választani, akkor ezt a szempontot vegyétek figyelembe. Én kizárólag magyar nyelvû forrásokat tüntetek fel, de ha valaki idegen nyelvû forrásból akar dolgozni, akkor annak csak örülni fogok (így sokkal több téma lehetõsége válik hozzáférhetõvé).
Nem a megadott témákból írt dolgozatot hacsak nincs velem egyeztetve nem tudok elfogadni.

A dolgozatok leadásának határideje: 2001. június 22. 16 óra
 

Kutrovátz Gábor


A témák listája:
 
 
  • Galilei
  • Rényi Galileirõl
  • Descartes
  • Pascal a geometriáról
  • Pascal Isten-bizonyítása
  • Rényi a valószínûségszámítás születésérõl
  • Newton
  • Kant a matematikáról
  • A Bolyaiak
  • Cantor
  • Frege
  • Russell
  • A formalista iskola
  • Tarski és a metamatematika
  • A Bécsi Kör matematika-képe
  • Quine matematika-felfogása
  • Neumann a matematikáról
  • Wittgenstein a matematikáról
  • Bizonyítások és cáfolatok


  • A témák részletes leírása:
     

    Galilei

    Galileo Galilei (1564-1542) egyike volt a modern tudomány megalapozóinak. Példásan vegyítette a kísérletezés modern módszerét a matematizálás antik ideáljával. Nézete szerint “a természet könyve a matematika nyelvén szól hozzánk”.
    Feladat: Dolgozd fel Galilei valamelyik gondolatmenetét matematikai szempontból a Matematikai érvelések és bizonyítások (Európa, 1986) címû mû egy tetszõleges részlete alapján! Próbáld meg körvonalazni, hogy az érvelés mögött a matematikának milyen felfogása húzódik meg! Helyezd ezt a képet egy tágabb matematikatörténeti összefüggésbe, és hívd segítségül arra vonatkozó ismereteidet, hogy milyen techikai-fogalmi háttér állhatott Galilei rendelkezésére ahhoz, hogy az adott matematikai problémákat kezelje! Próbáld jellemezni azt a módot, ahogyan a szerzõ felhasználja a matematikát a természet megértéséhez!

    Néhány konkrét témajavaslat:
    (Az alábbi témák csak támpontul kívánnak szolgálni, vagyis a feladatok megfogalmazásához képest több-kevesebb hûséggel kidolgozhatók, illetve mintának használhatók egyéb témák kifejtéséhez.)

    Vissza a listához
     
     

    Rényi Galileirõl

    Rényi Alfréd (1921-1970), akinek a nevét a Matematikai Kutatóintézet is viseli, a magyar valószínûségszámítási iskola megteremtõje, az információelmélet és a számelmélet kitûnõ mûvelõje. Jelentõs tevékenységet fejtett ki a matematikai ismeretterjesztés és népszerûsítés terén. Ezt példázzák a matematikáról írott dialógusai, melyekben tiszta, élvezetes stílusban dolgozza fel a matematika történetének egy-egy jelentõs epizódját, korszakát. Ezek közé tartozik “A természet könyvének nyelve” címû dialógusa is, amely Galileirõl és a fiatal Torricellirõl szól.
    Feladat: Dolgozd fel az említett dialógust a következõ szempontok többsége (némelyike) alapján:
    Milyen nézetek körvonalazódnak a dialógusban? Mi a szerzõ véleménye a vitatott kérdésrõl? Hogyan támasztja alá a véleményét a szerzõ a képzelt történeti beszámoló segítségével? Történetileg vajon mennyire hiteles a dialógus? Vannak-e olyan pontok, ahol a szerzõ anakronizmust követ el, vagyis az adott korban ismeretlen eredményeket/fogalmakat ismertnek tételez fel? Ha igen, akkor ezt vajon szándékosan teszi-e (és ha igen, akkor mi a célja ezzel)? Mit gondolsz, jól választotta-e meg a témát a szerzõ? A választott (matematika)történeti helyszín mennyire alkalmas arra, hogy a segítségével az adott nézeteket igazoljuk? Mi a véleményed magáról a módszerrõl? Minek a kifejezésére alkalmas szerinted egy képzelt dialógus, mennyire hatékony? Neked mik a nézeteid a tárgyalt kérdésekrõl? Ha egy ilyen dialógust "kellene" írnod, milyen matematikatõrténeti helyszínt választanál neki, és miért pont azt? (Figyelem: a fenti kérdések csak tájékoztató-segítõ jellegûek, természetesen nem kell szó szerint ragaszkodni hozzájuk!)
    Forrás: Rényi A.: Ars mathematica. Magvetõ, 1973. 106-159. oldal. (Illetve több kiadásban is fellelhetõ.)
    Galilei: Matematikai érvelések és bizonyítások. Európa, 1986.

    Vissza a listához
     
     

    Descartes

    René Descartes (1596-1650) az újkori filozófiai gondolkodás egyik legmeghatározóbb alakja, a kialakulóban levõ fizika egy sokáig befolyásos elméletének kidolgozója, valamint a matematika “algebraizálási” folyamatának egy fontos képviselõje (pl. koordináta-rendszer). A matematikát módszertani mintaképként tekintette, és a tiszta, világos, elemzõ típusú gondolkodás metodológiai szabályainak lefektetésekor a matematikai érvelés módszerét tartotta szem elõtt.
    Feladat: A "Szabályok az értelem vezetésére" címû mû segítségével próbáld meg kifejteni, hogy milyen módon és értelemben szolgált a matematika a tiszta gondolkodás mintájául! A szövegben található matematikai érvelések alapján lehet-e következtetéseket levonni Descartes matematikai “stílusára” nézve? Milyen viszonyban állnak az ismertetett példák/problémák a szerzõ általános matematikai érdeklõdésével?
    Forrás: Id. mû. In: Descartes: Válogatott filozófiai mûvek. Akadémiai Kiadó, 1980. Fõként 144-163. oldal (XIV-XXI. szabály).

    Vissza a listához
     
     

    Pascal a geometriáról

    Blaise Pascal (1623-1662) a valószínûségszámítás egyik megalapozója, az infinitézimálszámítás egyik közvetlen elõfutára, az elsõ számológép megépítöje, kitûnõ geométer, emellett nagy hatású fizikus, filozófus és teológus. A 17. századi tudomány jeles képviselõi általában módszertani-didaktikai példaképnek tekintették a klasszikus görög geometria Eukleidész-féle kifejtését, és ez alól Pascal sem képez kivételt – azzal együtt (vagy annak ellenére) sem, hogy a matematika 17. századi fejlõdésének legfontosabb fejleményei nehezen értelmezhetõk a klasszikus felfogás keretei között.
    Feladat: Elemezd Pascal geometriával kapcsolatos nézeteit! Milyen viszonyt lát a szerzõ geometria és tudomány, geometria és gondolkodás, geometria és a természet között? Egyáltalán milyen szempont(ok)ból tárgyalja a geometriát? Milyen kapcsolat van a nézetei és a konkrét matematikai-tudományos eredményei között?
    Forrás: Pascal: "A geometriai gondolkodásról és a meggyõõzés mûvészetérõl". In: Írások a szerelem szenvedélyérõl, a geometriai gondolkodásról és a kegyelemrõl. Osiris, 1999. 35-77. oldal.

    Vissza a listához
     
     

    Pascal Isten-bizonyítása

    Blaise Pascal (1623-1662) a valószínûségszámítás egyik megalapozója, az infinitézimálszámítás egyik közvetlen elõfutára, az elsõ számológép megépítöje, kitûnõ geométer, emellett nagy hatású fizikus, filozófus és teológus. Pierre Fermat-val folytatott levelezésében a két matematikus lefektette a valószínûségszámítás alapelveit. Hogy ez a fajta gondolkodásmód milyen nagy hatással volt Pascalra, azt az is tanusítja, hogy Gondolatok (Gondolat Kiadó, 1978) címû mûvének 233. paragrafusában (95-100. oldal) egy olyan gondolati “bizonyítással” támasztja alá Isten létezését, amely e matematikai diszciplína bizonyos alapvetõ elveire épül.
    Feladat: Rekonstruáld Pascal Isten-bizonyítását! Hogyan mutathatók ki az érvelésben a valószínûségszámítás fogalmi stílusának jellemzõi? Hogyan “modernizálható” a matematika késõbbi eszközei (technikái, fogalmai) segítségével a bizonyítás? Vajon e rövid szöveg elemzése alapján milyen következtetéseket vonhatunk le arra nézve, hogy milyen jellegû problémák és fogalmi nehézségek ösztönözték a valószínûségszámítás születését?

    Vissza a listához
     
     

    Rényi a valószínûségszámítás születésérõl

    Rényi Alfréd (1921-1970), akinek a nevét a Matematikai Kutatóintézet is viseli, a magyar valószínûségszámítási iskola megteremtõje, az információelmélet és a számelmélet kitûnõ mûvelõje. Jelentõs tevékenységet fejtett ki a matematikai ismeretterjesztés és népszerûsítés terén. Ezt példázzák a matematikáról írott dialógusai, melyekben tiszta, élvezetes stílusban dolgozza fel a matematika történetének egy-egy jelentõs epizódját, korszakát. Ezekhez hasonló stílusában és céljában a “Levelek a valószínûségrõl” címû írása, amelyben “közli” Blaise Pascal Pierre Fermat-hoz írott, “elveszett” leveleit, vagyis egy olyan fiktív levélsorozatot, amelyben Pascal tisztán kifejtette volna az új matematikai diszciplína alapelveit.
    Feladat: Dolgozd fel az írást matematikatörténeti szempontból. Értékeld formai és tartalmi kritériumok alapján! Szerinted mennyire korhû az írás a használt matematikai techikában, fogalmi hátterében és általános nézeteiben? Mi a véleményed a formáról, vagyis a fiktív “matematikatörténeti” munkáról? Mik az adott forma elõnyei és hátrányai? Vajon miért ilyen formát választott a szerzõ? Stb.
    Forrás: Rényi A.: Ars mathematica. Magvetõ, 1973. 235-320. oldal. (Illetve több kiadásban is fellelhetõ.)

    Vissza a listához
     
     

    Newton

    Isaac Newton (1642/43-1727) a modern fizika és természettudomány “atyja”, az újkori matematika egyik megalapozója, minden idõk legkreatívabb és ugyanakkor legnagyobb hatású tudósainak egyike. Fõmûvében, a Principia mathematica philosophiae naturalis-ban (“A természetfilozófia matematikai alapelvei”) nemcsak annak a fizikának az alapjait fekteti le (Newton-törvények + gravitáció), amely mintegy kétszáz évre meghatározta a fizika tudományának arculatát, hanem kidolgozza azt a matematikai módszert is, amellyel a vizsgált jelenségek köre leírható és kezelhetõ: az infinitezimálszámítást.
    Feladat: Dolgozd fel a Principia azon részét, amelyben Newton lefekteti az infinitezimálszámítás alapelveit! Milyen viszonyban áll az itt használt formanyelv és fogalmi rendszer az analízis késõbbi kifejtéseivel, illetve a matematika korábbi elméleteivel? Milyen technikai kezelést tesz lehetõvé ez a felépítés? Milyen “tanulságokat” tudsz levonni a szöveg elemzésébõl?
    Forrás: Newton: A Principiából és az Optikából, Levelek Bentleyhez. Kriterion Kiadó, 1981. 81-98. oldal.

    Vissza a listához
     
     

    Kant a matematikáról (vállalkozóbb szellemûeknek)

    Immanuel Kant (1724-1804) az újkori filozófia egyik legmeghatározóbb alakja. Nézetei alapul szolgáltak a 19. század számos filozófiai elképzelésének, és eszméinek (közvetlen vagy közvetett) hatása ma is tagadhatatlan. A matematikával kapcsolatos felfogása jelentõs befolyást gyakorolt arra, hogy a 19. században hogyan gondolkodtak a matematikai elméletekrõl és objektumokról.
    Feladat: Próbáld körvonalazni azt a pozíciót, amelyet Kant a matematikának (vagy a matematikai tudásnak) szán az ismeretek birodalmában! Ha segít, vesd össze a matematikai ismeretek státuszáról alkotott képét a filozófiai (metafizikai) ismeretekrõl kialakított felfogásával! Néhány segédkérdés: Vajon milyen általános vagy speciális következményekkel jár ez a kanti felfogás a matematikára nézve? Szerinted tükrözõdik-e egy ilyesfajta felfogás a 19. század némelyik matematikai elméletében? Hatással lehet-e a matematika filozófiája a matematika gyakorlatára, ha igen, milyen módon, ha pedig nem, miért nem?
    Forrás: Kant: Prolegomena. Atlantisz, 1999. “Miként lehetséges tiszta matematika?”, illetve ennek elõzményei: (19-)39-56. oldal. És/vagy:
    Kant: A tiszta ész kritikája. ICTUS, 1995. “Bevezetés” (51-72. oldal) alapján: Hol van a matematikai ismeretek helye, és mi ezek sajátossága? – Ebben  segít a “Transzcendentális esztétika” (77-103. oldal).

    Vissza a listához
     
     

    A Bolyaiak

    Bolyai János (1802-1860) erdélyi matematikus a nemeulkidészi geometria egyik megalkotója. Ezen munkája egy hosszú múltra visszatekintõ, korábban sorozatos kudarcokat eredményezõ kutatási tradíció (egyik) elsõ nagy sikerének tekinthetõ – a fölöslegesnek tûnõ erõfeszítések egyik "áldozatává" vált János apja, Bolyai Farkas (1775-1856) is. E kutatási hagyomány története ékesen mutatja, hogy a nemeuklidészi geometria problematikája szoros összefüggésben áll néhány olyan fogalmi és logikai kérdéssel, melyek a matematikai ismeretek és a matematikai tevékenység mindenkori alapvonalaira, (kimondatlan vagy explicit) természetére vonatkoznak. A történet mélyén a 19. századi általános matematika-felfogás gyökeres átalakulása figyelhetõ meg.
    Feladat: Vizsgáld meg a Bolyaiak válogatott levelezése alapján (Bolyai-levelek, Kriterion Kiadó, 1975), hogy hogyan viszonyult apa, illetve fia a problémához! Milyen érveket sorakoztattak fel a nemeuklidészi geometria lehetõsége ellen, illetve mellett? Milyen típusokba sorolhatók az érvek, és hogyan kapcsolódnak ezek a szerzõk matematikáról kialakított felfogásához? Ismerve a probléma további történetét – a nemeuklidészi geometria lassú térhódítását, valamint hatását az adott század matematika-képének átalakulására – milyen általános tanulságok vonhatók le a levelek tartalmából?

    Vissza a listához
     
     

    Cantor

    Georg Cantor (1845-1918) a halmazelmélet megteremtõje. Elmélete már a megjelenésekor nagy vitákat robbantott ki, hiszen egy olyan fogalom – a végtelen – matematikai kezelését kívánta lehetõvé tenni, amely addig csak paradoxonokat szült. Ám nem telt el sok idõ, és a halmazelmélet egyre nélkülözhetetlenebbnek bizonyult a legtöbb matematikai diszciplína alapjai számára: a huszadik század legfontosabb matematikai felismeréseinek egy jelentõs csoportja a halmazelmélet vizsgálatához kapcsolódik.
    Feladat: Elemezd Cantor azon írásait, amelyek a végtelen fogalmát próbálják bevezetni a matematikába! (In: Filozófiai Figyelõ, 1988/4. 56-87. oldal: “A transzfinit halmazelmélet alapfogalmai”, “Igazi és nem igazi végtelenség”, “Az aktuális végtelen védelmében”.) Milyen matematikatörténeti elõzményeket vizsgál meg Cantor (második írás), és milyen alapon bírálja elõdeit? Hogyan próbálja meg kiküszöbölni a korábbi szerzõk hibáit? Hogyan teremti meg a végtelen tulajdonságainak vizsgálata a halmazelmélet fogalmi hátterét? Milyen jelentõsége van mindennek a matematika további fejlõdése és felfogása szempontjából?

    Vissza a listához
     
     

    Frege

    Gottlob Frege (1848-1925) a modern logika “atyja”, a szigorúan bizonyító jellegû formális matematika fogalmi és technikai megalapozásának egyik úttörõje. A matematikát (pontosabban annak “magvát”, az aritmetikát) a tiszta logika részének tekintette, és ezen felfogása alapján megkísérelte kidolgozni azt a formális nyelvet, amelyen a matematika alapállításai puszta logikai eszközökkel megfogalmazhatók.
    Feladat: Elemezd Frege bármelyik írását matematikailag releváns szempontból! Próbáld körvonalazni (vagy vedd figyelembe) azt a felfogást, amelyet Frege a matematikával kapcsolatban vall! Milyen szerepet játszik ebben a logika? Milyen általános tanulságok következnek Frege felfogásából a matematika státuszára nézve? Érinti-e mindez a matematika konkrét gyakorlatát, mondjuk fogalmi vagy technikai szinten?
    Forrás:  Frege: Logika, szemantika, matematika. Gondolat, 1980.
    Frege: Logikai  vizsgálódások. Osiris, 2000.
    Frege: Az aritmetika alapjai. Áron, 1999.

    Néhány konkrét témajavaslat:
    (Az alábbi témák csak támpontul kívánnak szolgálni, vagyis a feladatok megfogalmazásához képest több-kevesebb hûséggel kidolgozhatók, illetve mintának használhatók egyéb témák kifejtéséhez.)


    Vissza a listához
     
     

    Russell

    Bertrand Russell (1872-1970) a modern logika talán legfontosabb népszerûsítõje, a matematika logicista felfogásának híve, majd tevékeny ellenfele, jelentõs matematikus és matematikafilozófus. A.N. Whitehead-del közösen írt Principia mathematica címû mûve a matematika teljeskörû megalapozására irányul, és sokak számára sokáig a matematikai tevékenység stilisztikai mintaképéül szolgált.
    Feladat: Elemezd Russell Filozófiai fejlõdésem (Gondolat, 1968) címû intellektuális önéletrajza alapján a Principia mathematica problematikáját, a szerzõ matematikával kapcsolatos álláspontját és céljait! (Id.mû VI-VIII. fejezet, 94-141. oldal.) Helyezd mindezt abba a tágabb összefüggésrendszerbe, amelyik a 20. század kezdetének matematikáját és matematika-felfogását jellemezte! Értékeld Russell munkásságát és nézeteit az elemzés (általad kiválasztott) szempontjai alapján!

    Vissza a listához
     
     

    A formalista iskola

    A "formalista" matematikai felfogás talán a legelterjedtebb 20. századi (és mai) nézet a matematikával kapcsolatban, amely elsõsorban David Hilbert (1862-1943) és követõi munkássága alapján alakult ki.
    Feladat: Jellemezd a formalista felfogást! Mik a fõbb jellegzetességei? Milyen viszonyban áll egy ilyen matematikáról alkotott nézet a matematikai ismereteinkkel: milyen értelemben "okozta" ennek az uralkodó nézetnek a kialakulását a matematika történeti fejlõdése? Hogyan vált a 20. század elején a matematikai tevékenység egyben egyfajta matematikafilozófiai tevékenységgé is, milyen matematikai területek és ismeretek játszottak szerepet ebben a folyamatban?
    Forrás: Hao Wang: "A formalizálásról". In: Copi - Gould (szerk.): Kortárs-tanulmányok a logikaelmélet kérdéseirõl. Gondolat, Budapest, 1985., 29-48. oldal.
            És/vagy:
                        Ernest Nagel - J.R. Newman: "A Gödel-bizonyítás". In: id. mû, 70-105. oldal.

    Vissza a listához
     
     

    Tarski és a metamatematika

    Alfred Tarski (1902-1983) a huszadik század (elsõ felének) legjelentõsebb matematikusai közé tartozott. Érdeklõdése elsõsorban a metamatematika, a matematikai logika és a matematika alapjai felé irányult. A formális rendszerek általános tulajdoságai érdekelték, ezért különös figyelmet szentelt a bizonyíthatóság és az igazság formalizált fogalmának.
    Feladat: Dolgozd fel Tarski Bizonyítás és igazság (Gondolat, 1990) címû kötetének valamelyik írását! (Tippek: “A matematika néhány alapvetõ fogalmáról”: 28-37. oldal, “A deduktív tudományok metodológiájának alapvetõ fogalmai”: 38-54. oldal, “Igazság és bizonyítás”: 365-390. oldal, stb.) Milyen matematika-felfogást tükröz az adott írás?  Vajon mit jelent a “metamatematika”, és milyen okok vezethettek a megjelenéséhez? Próbáld meg az írást általánosabb matematikatörténeti összefüggésekbe helyezni, és ez alapján értékelni!

    Vissza a listához
     
     

    A Bécsi Kör matematika-képe

    A Bécsi Kör az 1920-30-as évek egyik legbefolyásosabb filozófiai irányzata volt. Tagjai igen nagy szerepet szántak a modern logikának, és így a matematikával is közvetett kapcsolatban álltak. Nézeteik meghatározó erõvel alakították a késõbbi évtizedek tudományfelfogását.
    Feladat: Dolgozd fel Hans Hahn “Logika, matematika és természetismeret” címû írása alapján a Bécsi Kör matematikával kapcsolatos nézeteit! Értékeld az írást egy tágabb matematikatörténeti összefüggésrendszerben! Hogyan illeszekdik az itt kifejtett nézet a kor legfontosabb matematika-felfogásainak térképére? Mit gondolsz errõl a felfogásról, és hogyan értékelnéd a matematikatörténet szempontjából: vajon könnyen alátámasztható vagy cáfolható a matematikatörténeti ismereteid alapján?
    Forrás: Altrichter Ferenc (szerk.): A Bécsi Kör filozófiája. Gondolat, 1972. 217-242. oldal.
                        Egy hasonló témájú cikk, lehetséges összehasonlítási szempontként: Rudolf Carnap: "Empirizmus, szemantika és ontológia". In: Copi - Gould (szerk.): Kortárs-tanulmányok a logikaelmélet kérdéseirõl. Gondolat, Budapest, 1985., 297-324. oldal.

    Vissza a listához
     
     

    Quine matematika-felfogása(logikai érdeklõdésûeknek)

    Willard van Orman Quine (1908-2000) a 20. század egy igen jelentõs filozófusa, akitõl számos eredmény származik – egyebek mellett – a modern formális logika területén. A logikával kapcsolatos vizsgálatai többek között a matematikához is elvezettek, és hatásukra egy igen befolyásos matematika-felfogást alakított ki, amelyben komoly szerepet szán a logikának.
    Feladat: Próbáld meg felvázolni Quine matematika-felfogását az "Arról, ami van" címû írása alapján! (In: Copi - Gould (szerk.): Kortárs-tanulmányok a logikaelmélet kérdéseirõl. Gondolat, Budapest, 1985. 273-296. oldal.) Hogyan függ össze az ontológia (lételmélet) alap-problematikája a matematikával? Hogyan értékeli a szerzõ a hagyományos nagy matematikafilozófiai iskolákat, és hogyan viszonyul hozzájuk a saját nézete?
    Lehetséges összehasonlítási szempontok: Az említett kötetben azonos fejezetcím ("Logika és ontológia") alatt szereplõ írásokban kifejtett nézetek, pl. Carnap (Bécsi Kör) nézete ("Empirizmus, szemantika és ontológia", id. mû, 297-324. oldal).

    Vissza a listához
     
     

    Neumann a matematikáról

    Neumann János (1903-1957) a 20. század egyik legnagyobb matematikusa, akit sokan a matematika utolsó nagy “polihisztoraként” tartanak számon: a mametatika szinte minden területéhez mesterien értett. Jelentõs eredményeket ért el – többek között – a halmazelmélet axiomatikus megalapozásában, a számítástechnika elméleti hátterének kidolgozásában és a kvantummechanika matematikai vonatkozásainak tisztázásában.
    Feladat:  “A matematikus” címû írásában Neumann a matematika természetérõl és jellegzetességeirõl értekezik. Elemezd az írást! Milyen nézeteket vallott Neumann a matematikáról? Vedd figyelmbe a szerzõ matematikai munkássága által kínált összefüggésrendszert! Különös figyelmet fordíts a szövegben elõforduló matematikatörtpéneti példákra: Szerinted megfelelõ példákat választott a szerzõ nézeteinek alátámasztásához? Tudnál vele vitatkozni, legfõképpen matematikatörténeti példák segítségével?
    Forrás: Neumann J.: Válogatott elõadások és tanulmányok: “A matematikus”. Közgazdasági és jogi könyvkiadó, 1965. 11-27. oldal.

    Vissza a listához
     
     

    Wittgenstein a matematikáról

    Ludwig Wittgenstein (1889-1951) a 20. század egyik legjelentõsebb és legnagyobb hatású filozófusa. Korai korszakában jelentõs logikai-logikafilozófiai eredményeket is elért, melyek erõs hatást gyakoroltak pl. a Bécsi Kör matematikával kapcsolatos felfogására. Késõbb élesen szembefordult saját korábbi nézeteivel, és egy olyan felfogást alakított ki, amely erõsen korlátozza a logika szerepét mind a matematikában, mind az emberi tevékenységek minden területén.
    Feladat:  Tanulmányozd Wittgenstein kései fõmûvét, a Filozófiai vizsgálódásokat (Atlantisz, 1998) abból a szempontból, hogy miliyen felfogás körvonalazódik benne a matematika kapcsán! (Megjegyzés: a mû "sejtelmes" kritikai megállapítások sokaságából áll, így bármilyen álláspont kihámozása nem egyszerû feladat, és nagy szerepet hagy az értelmezés-beli önállóságnak.) A téma szempotjából elsõsorban a 143-155, illetve a 179-191, valamint az ezekkel kapcsolatos késõbbi paragrafusokra figyelj! Milyen szerepet játszik Wittgenstein mondandójában a "szabálykövetés" (és ezzel összefüggésben esetleg a "nyelvjáték") fogalma? Hogyan tanulmányozható a matematika a nyelv filozófiai vizsgálatának általános programján belül? Hogyan viszonyul a wittgensteini elképzelés a kor általánosan elfogadott matematika-feldogásához, a formalista nézethez?

    Vissza a listához
     
     

    Bizonyítások és cáfolatok

    Lakatos Imre (1922-1974) a huszadik század egyik legjelentõsebb magyar származású matematika- és tudományfilozófusa, aki nézeteivel világszerte jelentõs befolyást gyakorolt e területek fejlõdésére. Egyik legfontosabb tézise szerint a tudomány/matematika filozófiája elválaszthatatlan egységet kell, hogy alkosson a tudomány/matematika történetével. A (második) doktori disszertációját Cambridge-ben írta, “A matematikai felfedezés logikája” címmel, és ezzel egycsapásra nemzetközi szintû szakmai elismerésre tett szert. Ebbõl a dolgozatából született meg késõbb a Bizonyítások és cáfolatok (Typotex, 1998) címû könyve, amelyet a formalista matematikafelfogás ellen indított legfontosabb támadások között tartanak számon. Ebben a mûvében a Descartes-Euler-féle poliéder-tétel történetének “racionális rekonstrukcióját” olvashatjuk (egy fiktív matematikaórán kibontakozó vita formájában), és e történet alapján különbözõ, a matematikusok által követett elveket, felfogásokat, technikákat és stratégiákat ismerhetünk meg.
    Feladat: Dolgozd fel a Bizonyítások és cáfolatok címû tanulmányt! A feldolgozáshoz rengeteg különbözõ szempontot választhatsz, néhány példa: Milyen formában elemzi Lakatos az adott matematikatörténeti folyamatot? Mit gondolsz, miért ezt a különös formát választja? Mik ennek az elõnyei és a hátrányai? Jónak találod ezt a módszert egy történeti esettanulmány céljaira? Mi más célokat követhetett e forma választásával? És vajon miért ezt a példát választotta? Szerinted speciálisan megfelel az elemzés tárgya a szerzõ mondanivalójának, vagy teljesen esetleges, hogy milyen példát választott a feldolgozásra? Továbbá: Milyen matematikusi “stratégiák” körvonalazhatók a vitából? (Extra feladat: Vajon azonosíthatók-e a a vita szereplõi a történelem valódi matematikusaival a lábjegyzetek alapján?) Hogyan ütköznek ezek a stratégiák, és vajon van-e közöttük egy “legjobb”? Milyen általános tanulságokat lehet levonni a vitából, annak eredményébõl? Mit tud megmutatni Lakatos az elemzés segítségével, illetve mit akar(hat) megmutatni? Vajon ez egy matematikatörténeti, -filozófiai, -pedagógiai, -szociológiai, esetleg -pszichológiai mû? Valamint: Hogyan viszonyul az esettanulmány a Bevezetésben lefektetett elvekhez és célokhoz? Mi lehet az általános koncepció? Mennyire felel meg ennek az Elsõ függelék esettanulmánya (a folytonosság Cauchy-féle elvérõl)? És milyen viszonyban áll mindez a Második függelékben kifejtettekkel (“A deduktivista és a heurisztikai megközelítés ellentéte”)? – A fenti kérdések csak tippeket szeretnének nyújtani a feldolgozáshoz, de persze egyikükhöz sem kell ragaszkodni az elemzés során, melynek szempontja(i) szabadon választható(k).

    Vissza a listához